Matematisering i lek på vetenskaplig grund

Inledning

För över 40 år sedan identifierade Hans Freudenthal, en av våra mest betydelsefulla matematikdidaktiker genom tiderna, flertalet utmaningar i matematikdidaktisk forskning och undervisning där en av utmaningarna uttrycktes ”How to create suitable contexts in order to teach mathematising” (Freudenthal, 1981, s. 145). Även om läroplaner, matematikdidaktisk forskning, utbildningsformer liksom utbildning av lärare och förskollärare förändrats avsevärt under dessa 40 år är utmaningen lika aktuell idag. Utmaningen bottnar alltså i hur matematik görs relevant och användbar inte bara utifrån ett läroplans- och utbildningsperspektiv utan också för den lärande.

Förskolläraren: ”Kan du räkna hur många?”

Barn: ”Ja, men nu ska jag ta de här rosa knapparna.”

Exemplet ovan är i linje med Freudenthals utmaning och något vi ofta har observerat: Det är fullt möjligt att lyfta in matematik som ett innehåll i vilken situation som helst, men det betyder inte att det är meningsfullt för barnen att resonera matematiskt i alla situationer. I den här artikeln riktas blicken mot matematik som ett meningsfullt innehåll för yngre barns lärande i förskolan. Särskilt vill vi rikta blicken mot uttrycket matematisera som har blivit vanligt i relation till förskolans matematik.

Freudenthal (1981) betonade ”first the real world and then mathematising” och förtydligade att ”the real world” avsåg en kontext som inkluderar ett matematiskt problem som är relevant för den eller dem som ska lära. När Freudenthal lyfte kontexten som en didaktisk utmaning gjordes inte det i relation till yngre barn utan i relation till matematikutbildning generellt. Utgångspunkten var att matematik bör undervisas så att kunskapen blir meningsfull för den lärande varför all undervisning i matematik bör ta avstamp i den lärandes omvärld och erfarenheter (Freudenthal, 1968). Vi menar att uttrycket matematisera kan spela en viktig roll i förskolans matematikundervisning men att uttrycket behöver problematiseras, dels utifrån ett teoretiskt perspektiv vad det innebär att matematisera, dels i ett empiriskt perspektiv hur matematiserande kan ta sig uttryck.

Enligt den svenska läroplanen för förskolans utbildning¹ ska lek ha en central roll och i utbildningen ska det ingå undervisning (Skolverket, 2018). I tidigare studier (bl.a. Björklund et al., 2018; Björklund & Palmér, 2019) har relationen mellan undervisningens målorientering och lekens öppenhet samt hur matematik kan bli meningsfullt för barnen och för den lek som barnen engagerar sig i problematiserats. Studierna visar att det kan vara svårt att som förskollärare bli delaktig i barns lek och att i leken undervisa ett innehåll som bidrar till att leken utvecklas genom att barnen erbjuds nya erfarenheter och färdigheter inom lekens ramar. Alltför ofta blir matematiken påklistrad (som i exemplet ovan) vilket i värsta fall leder till att barn får en felaktig bild av matematik som något som inte har med deras livsvärld och intressen att göra (Freudenthal, 1981).

I ett praktiknära forskningsprojekt har vi tillsammans med förskollärare studerat hur matematikundervisning med fokus på tal kan utformas på vetenskaplig grund. Syftet är att utveckla matematikundervisning i förskolan där barns perspektiv utgör såväl utgångspunkt som slutpunkt där målet med undervisningen är att barns perspektiv breddas och fördjupas (Sommer et al., 2010). I denna artikel kommer vi analysera empiriska exempel från denna studie för att problematisera Freudenthals matematikdidaktiska ansats med fokus på uttrycket matematisera och därmed även lekens centrala roll i förskolans utbildning. Mer explicit studeras hur form och innehåll i lekaktiviteter tillsammans med barns och förskollärares ageranden möjliggör matematiserande utan att lekens ursprungliga värden förringas utan snarare vidgas och fördjupas.

Lek och lärande i förskolan

Det finns många sätt att beskriva vad lek är och det råder ingen egentlig konsensus om hur lek ska eller bör definieras. Vissa menar att lek är all verksamhet som barn engagerar sig i medan andra avgränsar lek till rolltagande. Oavsett hur lek förstås eller förklaras präglas lek av en öppenhet och ett personligt engagemang hos den som leker där riktningen inte är förutbestämd, även om det alltid finns ett innehåll (något man leker) (Pramling et al., 2019). Hur leken utformar sig, det vill säga vilken riktning leken tar, omförhandlas ständigt av lekdeltagarna vilket inkluderar inslag av makt och tolkningsföreträde. Olika sätt att förstå och förklara lekens betydelse för barns lärande och utveckling får konsekvenser för hur vuxnas roll i barns lek kan tolkas, vilket sannolikt är en orsak till att leken länge setts som skild från undervisning och tillhörande barnen, fri från vuxnas inblandning. Enligt Van Oers (2014) kan lek, istället för att ses som en aktivitet fri från vuxna, ses som en aktivitet där barn är fria att utforska där leken kan ta oförutsägbara riktningar. Detta synsätt innebär att lek inte utesluter vuxnas deltagande men att det kan finnas en spänning mellan lekens frihet och oförutsägbara riktningar och förskolans målorienterade verksamhet.

I svenska förskolans läroplan skrivs att ”lek ska ha en central plats i utbildningen” (Skolverket, 2018, s. 4) och att barn ska få möjlighet ”att bredda sina lekmönster” (Skolverket, 2018, s. 7), samt att detta ska ske både i barnets egeninitierade lek och i lekaktiviteter initierade av andra såsom förskolläraren. Att vidga barns lekmönster genom planerade lekaktiviteter är därmed ett sätt att genomföra undervisning i förskolan som följer den svenska läroplanens målsättning. Att skrivningarna finns i läroplanen betyder dock inte att det är självklart på vilket sätt lek kan få en central plats i utbildningen. Att barn erbjuds delta i olika lekaktiviteter där varierande innehåll och former erbjuds är en förutsättning, men deltagandet i sig är inte en garanti för att lekmönster kan breddas. För detta krävs en mål­orientering i syfte att göra det möjligt för barn att bredda sina lekmönster genom att tillägna sig fler redskap och fördjupade kunskaper, vilket kan göra det möjligt att följa andras riktning i lek eller initiera nya vägar och ramar för lek. Ett sätt att tolka målorientering är därmed att vuxna kan bidra till barns lek genom att skapa möjligheter för barnen att använda redskap och kunskaper som dels behövs för att delta i en viss lek, dels öppnar för att initiera nya riktningar i leken.

Att barn breddar sin repertoar av lekmönster kan beskrivas i termer av agency i betydelsen att barn har agens att ta initiativ i sin lek och samvaro med andra, vilket är en central del i en barncentrerad verksamhet som förskolan (Pramling Samuelsson & Asplund Carlsson, 2008). Att se och beskriva barns lärande i termer av agency medför att barn ses som aktiva kunskapsbildare snarare än passiva mottagare (James, 2009). Agency innebär å ena sidan självständighet att ta initiativ i samspel med andra, å andra sidan är självständigheten situerad i betydelsen att olika situationer möjliggör eller hindrar barn att ta initiativ och kontroll över vad som sker. I vilken utsträckning barns agency utvecklas relaterar därmed till hur andra deltagare responderar på barns initiativ. Agency innebär även att barn uppfattar hur andra kan vara stöd för att barnet ska uppfylla sina intentioner (Lipponen & Kumpulainen, 2011). Agency är dock inte medfött utan utvecklas i interaktion med omgivningen i en ömsesidig process (Vygotsky, 1978). I en studie av barns agency i förskolekontext (Sairanen et al., 2020) observeras flera sätt för barn att initiera förslag och riktningar i aktiviteter de deltar i. Vanligt är att barn ställer frågor, föreslår förändringar både gällande att byta aktivitet och att byta riktning inom en aktivitet, men också genom att hävda sina idéer eller välja att inte delta. Agency förknippas gärna med lek och samspel men är betydelsefullt för allt lärande i och med att idéer, kunskaper och färdigheter behöver prövas, utmanas och kontextualiseras för att bli meningsfullt och användbart. Sairanen et al.:s (2020) studie visar att barns agency ständigt formas och förhandlas i interaktion med andra och att detta sker både i barns spontana lek och i tillrättalagda aktiviteter. Därmed är barns agency av betydelse även i undervisningssammanhang, särskilt när den lärandes perspektiv ses som utgångspunkt och mål.

Att se världen i ljuset av matematik

Freudenthal (1968) beskriver matematiklärande som att barn lär sig se världen i ljuset av matematik. Det inbegriper att barn i mötet med en uppgift, oavsett självinitierad eller given, identifierar att matematik kan bidra till att lösa uppgiften på önskat sätt. Om barnet möter en uppgift där klossar i geometriska former ska passas in i motsvarande geometriskt formade hål underlättas aktiviteten om barnet urskiljer klossarnas spatiala egenskaper. För att lösa uppgiften behöver barnet inte benämna egenskaperna utan enbart fokusera på hur klossarnas egenskaper samspelar med hålens egenskaper – matematiken blir på så sätt nödvändig i aktiviteten. Att i situationen fråga barnet efter benämningen på klossarna innebär dock inte att se världen i ljuset av matematik i den mening Freudenthal beskriver eftersom klossarnas benämningar inte är nödvändiga för att genomföra aktiviteten. Att hitta strukturer, klassificera, systematiskt pröva och symbolisera är andra exempel på sätt att se världen i ljuset av matematik som även yngre barn engagerar sig i, vilka utgör en förutsättning för fortsatt begrepps- och färdighetsutveckling (Gravemeijer & Terwel, 2000).

Matematik kan enligt Freudenthal (1991) beskrivas som grundat i både form och innehåll. Å ena sidan kan barn lära sig utföra matematiska procedurer (t.ex. säga ett räkne­ord för varje föremål som ska räknas) och de kan memorera fakta (t.ex. ”fem och fem är tio”). Å andra sidan är sådana färdigheter och förmågor i sig av litet värde om barnet inte förstår syftet med proceduren eller memorerade fakta, eller hur och varför en procedur fungerar eller ett påstående är sant. Freudenthal skriver att matematik inte bör undervisas som isolerad form eller som isolerat innehåll, utan alltid med hänsyn till det samspel som finns mellan form och innehåll. Ett exempel är räkneramsan som i grunden är form, men för att användas i syftet att ta reda på antal behövs en avgränsad mängd objekt att räkna (ett innehåll). Abstraherad från det specifika innehållet har räkneramsan därefter kvar sin innebörd att dess syfte är att bestämma antal av objekt (som kan vara av olika slag). Den fördjupade innebörden är fortfarande starkt knuten till formen (räkneordens stabila ordning) och att det är ett avgränsat antal objekt (ett innehåll) som räknas (Freudenthal, 1991). På liknande sätt visar studier från svensk förskola att undervisning som är målorienterad samtidigt som lekens frihet beaktas förutsätter att barnen först ges möjlighet att urskilja lekens form i betydelsen lekens regler och struktur. Därefter blir det möjligt för dem att i lek även urskilja matematikinnehållets form och innehåll (Palmér & Björklund, 2019). På så vis kan både matematik och lek förstås utifrån form och innehåll och därmed ses som likvärdiga för barnen.

Form och innehåll kopplas enligt Freudenthal (1991) även till att den kontext som inkluderar det matematiska problemet är meningsfull. Här skiljer Freudenthal på horisontell och vertikal matematisering (horizontal and vertical mathematising). Horisontell matematisering börjar enligt Freudenthal i ”real world” i betydelsen den lärandes omvärld och erfarenheter, därefter följer matematisering där barnet löser en uppgift med tillgängliga matematiska verktyg. Vertikal matematisering går i motsatt riktning i betydelsen att aktiviteten börjar i ett matematiskt objekt eller en matematisk process som utforskas, skapas, omformas och manipuleras för att på så sätt bli begripligt och användbart för problemlösning såväl inom-matematiskt som i vardagen. Att ta utgångspunkt i lek och möjliggöra för barn att urskilja matematisk form och innehåll skulle därmed i Freudenthals beskrivningar innebära horisontell matematisering medan utgångspunkt i ett matematikinnehåll, till exempel ett resonemang om talföljd (vad kommer efter ett och två?) för att därefter använda denna erfarenhet i lek innebär vertikal matematisering, båda har alltså betydelse för att utveckla matematikfärdigheter och kunnande som är relevanta för barnet. Freudenthal poängterar dock att “real world” ser olika ut för olika individer, till exempel är matematiska objekt del av ”real world” för matematiker på ett annat sätt än de är för noviser. Då uppstår även en didaktisk utmaning – vad är meningsfull matematik och hur ska det undervisas så att den blir relevant och användbar för den som ska lära (Freudenthal, 1968).

Frågan om vad som är meningsfull matematik leder enligt Freudenthal (1978) till frågan om vad undervisningen i matematik bör behandla. Ett sätt att besvara frågan är att utgå från läroplanens målformuleringar men Freudenthal hävdar att en risk då är att mål omsätts i undervisning som isolerade kunskapsöar, vilket även fråntar läraren dennes professionella uppdrag. Tacksamt nog innehåller svenska förskolans läroplan inte detaljerade mål av slaget ”kunna räkna till 100”. Sådana målformuleringar länkar enligt Freudenthal inte samman matematik med ”real world” utan är snarare en didaktisk absurditet. I många matematikuppgifter eller undervisningsaktiviteter för yngre barn vävs matematik in i vardagliga eller bekanta sammanhang i syfte att göra undervisningen meningsfull och engagerande för dem som ska lära sig matematiken ifråga, till exempel ”Pettson och Findus har tio päron tillsammans. Pettson har tre päron fler än Findus. Hur många päron har Findus?” Freudenthal ställde sig dock kritisk även till den typen av uppgifter i matematikundervisning eftersom barnen först måste förstå matematiken för att kunna lösa uppgiften. Uppgiften i sig ger inte stöd att utveckla matematikkunnande utan löses oftast genom gissning, eller rekonstruktion av uppgiften med laborativa materiel, vilket nödvändigtvis inte visar de matematiska strukturer som krävs för att en liknande strategi ska kunna tillämpas i ett annat sammanhang. Freudenthals kritik leder därmed till att andra typer av problemlösning behöver göras till objekt för undervisning där barnet ges möjlighet att upptäcka samband och strukturer som nödvändiga för att lösa ett problem (då blir matematiken ifråga relevant och användbar).

Att uttrycka matematik som meningsfullt är dock inte oproblematiskt då meningsfullt kan förstås på flera sätt, till exempel som Leontiev (1978) beskriver: som en kulturell mening som förmedlas av mer kunniga genom hur artefakter används för olika mål och sammanhang, men också som en personlig mening grundad i den lärandes erfarenheter, föreställningar och intresse. I utbildningssammanhang innebär meningsfullt lärande då att både den kulturella och den personliga meningen framträder i handling där innebörden gör sammanhanget mer begripligt som helhet. En betydelsefull fråga är alltså hur barnets personliga uttryck och handlingar närmar sig en kulturellt medierad matematisk mening. Enligt Van Oers (2010) sker detta genom att barn deltar i aktiviteter och utför handlingar som responderas på genom vuxnas kulturellt färgade tolkningar. Här blir symboliska representationer en bidragande artefakt till att matematiska innebörder förhandlas och omförhandlas. På så sätt närmar sig barnets individuella mening den kulturella och handlingarna kan få karaktären av den kulturella matematiska meningen. I leken har barnen stor frihet att sätta ramar och välja riktning, vilket skulle borga för att barn ges rum att uttrycka sin förståelse och sina handlingar där lärarens uppgift är att respondera med den kulturellt förmedlade innebörden. Det har också visat sig att barn som deltar i lekbaserad undervisning som bygger på dessa principer utvecklar räknefärdigheter som de förmår att tillämpa i nya sammanhang, det vill säga relevanta och användbara färdigheter (Van Oers, 2003).

Studiens ramar och genomförande

Det empiriska materialet i denna studie kommer från ett praktiknära forskningsprojekt där två forskare och tre förskollärare samarbetat under två år med att utveckla matematikundervisning för förskolans yngsta barn (1–3-åringar). Centralt har varit att ta avstamp i den verksamhet som barnen deltar i och de aktiviteter som barnen visar intresse för. I denna verksamhet är leken central där förskollärare förväntas delta i barns lek som en av flera former för undervisning i enlighet med såväl policy för förskoleverksamhet som förskolepedagogisk forskning (Pramling et al., 2019).

I studier där lek är en central del kan två dimensioner av lek urskiljas: dels som aktivitet med tydliga ramar inom vilka barnen har frihet att göra val, vilket kan kallas regellek, dels som rollekar där barnen går ut och in i roller och växlar mellan att låtsas ”som om” något är på ett visst sätt och ”som är”, det vill säga så som det upplevs vara (jämför en byggkloss som ett barn leker med ”som om det var en häst” och i nästa stund använder samma kloss till att bygga ett stall, klossen ”som är” ett byggelement). I denna studie avgränsas lekaktiviteter till att främst omfatta den förra, det vill säga planerade aktiviteter där det finns regler för vad som är förväntade handlingar (för att leken ska fortgå) men ramarna som kontextualiserar aktiviteten är öppna och förhandlingsbara och kan därför inkludera också den senare dimensionen av lek där deltagarna tar olika roller och växlar mellan att gå in i och ur leken.

I projektet observerades initialt de deltagande barnens initiativ och intressen i förskole­verksamheten. Utifrån observationerna utvecklades lekaktiviteter i nära samarbete mellan forskarna och förskollärarna i syfte att dessa aktiviteter även skulle möjliggöra lärande av tal. Med stöd av variationsteoretiska principer (Marton, 2015) har undervisningen utformats så att den ska ge barnen bästa möjligheter att erfara tals innebörd och mening (se beskrivning av aktiviteterna nedan). Olika representationsformer som ingår i lekaktiviteternas utformning bidrar till att innebörden av tal, och särskilt tals kardinalitet, görs möjlig att urskilja (se även Duval, 2006, samt Lesh, 1981). Aktiviteterna har utvecklats, prövats och utvärderats i en iterativ process i tre förskolor med 27 barn i åldrarna 1–3 år. I det empiriska arbetet där aktiviteterna prövats har principer för undervisningen förfinats och vidare­utvecklats. Tre av dessa aktiviteter har särskilt analyserats i denna artikel. Aktiviteterna är valda för att de utformats på vetenskaplig grund och med ett uttalat didaktiskt syfte – att i lek undervisa om tals innebörder. Aktiviteterna har likheter i både form och innehåll. De är rörelselekar med förbestämda ramar för hur leken går till, det vill säga vilka moment som ingår i leken och vad deltagarna förväntas göra. Inom lekens ramar använder förskollärarna olika representationer (t.ex. verbala uttryck, fingermönster och andra artefakter) i interaktionen med barnen för att synliggöra avgränsning av föremål i grupper med olika antal. Därtill gör förskollärarna avsiktliga kopplingar mellan representationer genom att benämna och visa vad som utgör en avgränsad mängd eller vad som räknas. Planeringen av aktiviteterna kan därmed kopplas till Freudenthals horisontell matematisering i betydelsen att utgångspunkten är lekens form och innehåll.

Hoppasången tar avstamp i barnens intresse för en speciell sång som handlar om att hoppa (”Klaras hoppsång” av Andeby och Wanngren, 1994). Lekens innehåll utgörs av rörelserna till musiken och formen är sången som består av upprepningen ”hoppa, hoppa, hoppa, jag vill bara hoppa” följt av rimord och fraser som indikerar hur roligt det är att hoppa. Rörelserna till sången har i den utvecklade aktiviteten preciserats så att deltagarna ska hoppa ”på ett”, ”två”, ”tre” eller ”fyra” kroppsdelar mot golvet i takt till musiken. Antalet fötter och händer man ska hoppa med mot golvet varieras så att det uppstår en kontrast (t.ex. mellan två-fyra eller ett-tre), som förskolläraren uppmärksammar barnen på. Aktiviteten är på så sätt teoretiskt grundad i variationsteoretiska antaganden (Marton, 2015) om att kontrasten mellan olika antal som uttrycks på liknande sätt (hoppa med fötter och händer mot golvet) gör det möjligt att urskilja kardinalitet hos tal, samtidigt som antalen (matematikens form) knyts samman med den konkreta upplevelsen av kroppsdelar att hoppa med mot golvet (matematikens innehåll).

Rockringar är en utveckling av Hoppasången där musik spelas och barnen dansar eller rör sig fritt i rummet. När musiken stannar ska deltagarna söka upp en rockring på golvet och sätta sig på en sittplatta. Sittplattornas antal varieras i ringarna mellan en till fyra plattor. Rockringarnas syfte är att ”ringa in” en avgränsad mängd sittplattor så att kontrasten mellan antalet sittplattor och därmed antalet barn inom varje ring blir urskiljbar (se bild 1), enligt liknande principer som i Hoppasången. Genom den samtidiga koppling som görs mellan antalet synligt avgränsade sittplattor samt antal barn som sitter ett-till-ett på varje platta (innehåll) och uppräkningen för att bestämma och jämföra antal (form) öppnas möjligheten att erfara hur tal används i ett relevant sammanhang och med ett syfte av betydelse för leken.

Stenrock är en sammanslagning och utveckling av de båda tidigare lekaktiviteterna. Leken inleds med att barnen bestämmer ett antal ”stenar” (utklippta former som läggs ut i grupper om 1–4 på golvet) som de senare ska ställa sig på (motsvarande antal fötter eller händer på stenarna, se bild 2). Deltagarna rör sig därefter i rummet till musik. Vid en given signal ska deltagarna söka upp en samling stenar och ställa sig på dem med en hand eller fot på varje sten. Leken tar samma teoretiska utgångspunkt för hur kardinalitet görs möjlig att urskilja genom kontrast i antal, men är särskilt knuten till det kroppsliga erfarandet som en representationsform. Kopplingen mellan innehållet uttryckt i ”stenar” samt kroppsdelar och det tal (form) som representerar antalet hopparade stenar och kroppsdelar pekas särskilt ut av förskolläraren för att jämföra och på så vis synliggöra likheter och skillnader i antal.

Metod för analys

Empirin i studien utgörs av 94 videoinspelade observationer av dessa tre lekaktiviteter från de tre förskolorna i projektet. Vårdnadshavarna till alla deltagande barn har godkänt vilka data som samlas in, i vilket syfte och hur data hanteras enligt Vetenskapsrådets forskningsetiska principer (2017) och gett sitt skriftliga samtycke.²

I analysen gjordes ingen jämförelse mellan lekaktiviteterna utan de ses som en samling observationer som kan möjliggöra matematisering. Inledningsvis transkriberades observationerna och analyserades deduktivt utifrån Freudenthals beskrivning av matematisering med avseende på hur lekens och matematikens form och innehåll framträder i relation till varandra, vilket gav två kategorier varav en med underkategorier (se Figur 1). Denna analys bygger därmed på förskollärarnas och barnens ageranden i aktiviteten och inte på aktivitetens planerade syfte och genomförande varför samma aktivitet återfinns i samtliga kategorier. Vi vill poängtera att analysen inte avser att värdera de empiriska exemplen som mer eller mindre goda exempel på matematikundervisning och inte heller att värdera huruvida barnens möjligheter att erfara matematik är större eller mindre i olika genomföranden. Analysen omfattar enbart huruvida de empiriska exemplen kan förstås som matematiserande eller inte.

Även om samtliga aktiviteter är planerade för att matematikens form och innehåll ska vara del i lekens form och innehåll blir inte detta alltid utfallet när aktiviteterna implementeras. Kategorin separerad matematik framträder i empiriska exempel där det i aktiviteten utifrån deltagarnas ageranden sker en tydlig uppdelning mellan matematik och lek. Här är matematikens form och innehåll separerat från lekens form och innehåll varför exemplen inte kan benämnas horisontell matematisering.

I kategorierna inbäddad matematik framträder empiriska exempel där aktiviteten tar utgångspunkt i lek och där matematik utifrån deltagarnas ageranden utgör en del av leken, i Freudenthals benämning horisontell matematisering. I dessa exempel är matematikens form och innehåll inbäddat i lekens form och innehåll. I en noggrannare analys blev det dock tydligt att dessa aktiviteter inte per automatik innebar att matematiken är nödvändig för den eller dem som ska lära. Därmed delades observationerna i kategorin in i två delkategorier. I båda är matematikens form och innehåll inbäddat i lekens form och innehåll men enbart i den ena är matematiken nödvändig för barnet i relation till lekens form och innehåll, det vill säga nödvändig för att barnets intention i leken ska kunna uppfyllas.

I nästa steg analyserades exemplen i de två kategorierna med underkategorier utifrån vad som triggar matematiserande i betydelsen att barn erfar tal som nödvändiga att använda på ett eller annat sätt för att delta i leken, utan att lekens ursprungliga värden förringas utan snarare vidgas eller fördjupas.

Resultat

Nedan ges inledningsvis empiriska exempel på de två kategorierna separerad matematik och inbäddad matematik där den senare är uppdelad i underkategorierna icke-nödvändig respektive nödvändig matematik. Därefter följer en fördjupad analys med fokus på vad som tycks möjliggöra matematiserande.

Delresultat 1: Olika sätt att hantera matematikinnehållet

Inbäddad matematik där matematiken är nödvändig

Observationerna i den tredje kategorin skiljer den från de tidigare kategorierna eftersom barnen i leken tycks urskilja ett problem som enligt dem kan lösas ”sett i ljuset av matematik”, det vill säga matematisera så som vi tolkar Freudenthal. I excerpt 5 har leken Stenrock fått en imaginär inramning med krokodiler som barnen måste rädda sig ifrån. I den inramningen får stenar att stå på en betydelse för lekens genomförande och antalet stenar som matchas med antal kroppsdelar att stå på bäddas in i leken.

Excerpt 5  

Förskolläraren har gentemot tidigare i leken tagit bort stenar så det nu ligger stenar i grupper om tre och två på golvet.

Förskollärare Så simmar vi runt. Ett barn börjar samla in stenarna. Låt dom ligga, stenarna måste rädda oss. Förskolläraren lägger ut stenarna igen. Barnet hoppar på en grupp med tre stenar, tar emot sig med händerna, sätter sig på golvet och pekar på varje sten en gång (tre stenar).

Förskollärare Nu kommer krokodilerna! En flicka går runt och ser vilsen ut, tittar på golvet och stenarna. Du kan ställa dig där, jag tog bort några. Flickan ser olycklig ut. Ville du ha det som det var förut? Förskolläraren lägger två stenar till två som redan ligger på golvet, Flickan ställer sig med händer och fötter på dem. En pojke springer och hoppar omkring på golvet. Förskolläraren släpper ner en sten på golvet. Nu får du också ställa dig på stenen. Pojken sätter sig på golvet och stampar en fot på stenen. Förskolläraren vänder sig till flickan igen. Hur många stenar har du, en, två, tre, fyra, fyra stycken, pekräknar barnets händer och fötter, och hur många stenar har du? En sten, jättebra, hjälper pojken att hålla balansen att stå på ett ben och cirklar med handen runt stenen.

I den imaginära leken får leken och matematiken mening i förhållande till varandra, de är delar i samma helhet, matematikens form och innehåll är inkluderat i lekens innehåll och därmed även i lekens form. Att matematiken är betydelsefull för lekens fortgående syns i barnens ageranden där pojken sätter sig ner för att kunna stampa med bara en fot på stenen och flickan uttrycker att något inte stämmer när det inte är samma antal stenar som tidigare. Antal framträder för barnen som en nödvändig del i lekens innehåll och form där barnen med förskollärarens stöd och förklaring till den överraskande förändringen i antal kan de fortsätta delta i leken.

I excerpt 6 leker en förskollärare och sex barn Rockringar. De har tre rockringar och sex sittplattor som förskolläraren flyttar mellan rockringarna medan barnen dansar till musiken. Förskolläraren är med och dansar med barnen.

Excerpt 6  

Förskollärare Nu blev det tyst. Vad skulle man göra då?

Barn Sätta sig.

Förskollärare Sätta sig på en dyna. Nu ska vi se om det finns någon ledig. Vänder lite på barnen i rockringen med fyra sittplattor så att den lediga sittplattan ska synas.

Barn Jag vill inte sitta där.

Förskollärare Då får jag sitta där. Då sitter jag här. Sätter sig på den lediga sittplattan. Hur många fick vi plats i den här ringen?

Barn Barnet som inte sitter i en rockring ler stort och ställer sig upp. En, två, tre, fyra, fem. Han räknar barnen genom att säga ett räkneord samtidigt som han går runt och tar ett barn i taget på huvudet.

Förskollärare Du räknade alla! Om vi räknar bara här? Pekar på sig själv och de tre barnen i den ena rockringen. Fick jag inte sitta här? Ett barn är bekymrat över att förskolläraren och inte barnet sitter i rockringen. Jo, en liten stund. Vi räknar hur många som är här.

Barn En, två, tre, fyra, fem, sex. Barnet som inte sitter i en rockring räknar igen alla barnen genom att säga ett räkneord samtidigt som han går runt och tar ett barn i taget på huvudet. Ramsan går något fortare än ett-till-ett, därav sex barn.

Förskollärare Kom. Nu räknade du alla barnen igen. Lyfter barnet som räknar och ställer honom mellan rockringarna så han har ryggen mot den rockring som inte ska räknas. Men om vi bara räknar barnen som är här. En, två, tre, fyra. Fyra stycken här. Pekräknar barnen och sig själv.

Därefter räknar barnet med förskollärarens hjälp barnen i den andra rockringen.

Till lekens ram och innehåll hör att någon ska sitta på varje sittplatta (se bild 3). Ett barn protesterar när förskolläraren sätter sig i rockringen istället för ett av barnen, möjligtvis eftersom förskolläraren inte tidigare deltagit på det sättet varvid barnet har tolkat att sittplattorna är till för barnen som deltar i leken (lekens form). Barnet som protesterar mot att sätta sig på den sista lediga sittplattan uppfattar däremot lekens form på annat sätt där förskollärarens agerande möjliggör för barnet att agera ”som förskollärare” och då blir räknandet en nödvändig del för barnet för att kunna ”leka förskollärare” fullt ut. Matematiken blir därmed nödvändig del av lekens innehåll för barnet.

Gemensamt för observationerna i kategorin inbäddad matematik där matematiken är nödvändig är att matematikens form och innehåll bäddas in i lekens form och innehåll där leken blir en kontext i betydelsen ”real world” som inkluderar ett matematiskt problem. I kategorin framträder dessutom matematiken som nödvändig för ett eller flera barn som deltar och därmed kan exemplen i denna kategori utifrån vår tolkning av Freudenthal i relation till dessa barn beskrivas som matematisera.

Delresultat 2: Vad triggar matematiserande?

Ambitionen i artikeln är att problematisera uttrycket matematisera där resultatet visar att det är en utmaning att undervisa om tal på sätt som uppfyller Freudenthals kriterier för matematisera, men också att det kan göras. För att barn ska ges möjlighet att matematisera behöver leken utgöra ”real world”, det vill säga matematiken behöver vara inbäddad i lekens form och innehåll. Exemplen ovan visar dock att detta inte är tillräckligt och därmed är en fråga central: Vad triggar matematiserandet? Även om aktiviteterna i studien är designade för att ge barnen bästa möjligheter att utveckla sin taluppfattning inom ramarna för lek, ser vi att förskollärarens intentioner inte alltid faller ut i ett utvecklande samspel kring innebörden av tal som meningsfulla och användbara i aktiviteten. I observationerna som faller inom kategorin Inbäddad matematik där matematiken är nödvändig framträder vissa kriterier som gör att observationerna skiljer sig från de två tidigare kategorierna. Analysen visar på tre kriterier som utifrån våra data tycks vara nycklar till matematiserande undervisning med 1–3-åringar.

Diskussion och implikationer för praxis

Avsikten med analysen i denna artikel är inte att säga att matematik ska bäddas in i all lek men mot bakgrund av att den svenska förskoleverksamheten enligt svensk lagstiftning ska vila på vetenskaplig grund fann vi ett behov av att problematisera Freudenthals matematisera. Undervisning är ett etablerat begrepp som skrivits in i den svenska läroplanen för förskolan och därmed förväntas förskolläraren genomföra undervisning som gynnar barns lärande och utveckling, där leken och barns intressen är centrala. I artikeln har vi visat hur utmanande undervisning med ett tydligt lärandeobjekt som är meningsfullt för barnen kan vara i förskolan. Observationerna visar att en stor del av aktiviteterna innefattar att förhandla ramar för den aktuella leken där matematiken blir ett parallellt projekt eller en möjlig men inte nödvändig del i leken. Att urskilja och förhandla ramar framstår dock som viktigt för att i senare skede möjliggöra matematiserande. Observationerna visar att matematisering är möjlig i lek förutsatt att tre kriterier uppfylls: agency, i betydelsen att barnen kan ta initiativ, kunskap om lekens struktur som möjliggör för barnen att agera självständigt samt en initial matematisk idé som möjliggör för barnen att se aktiviteten ”i ljuset av matematik”.

Observationerna visar att det inte är tillräckligt att teoretiskt beskriva matematisera som att bygga in matematikens form och innehåll i en aktivitet som barn engagerar sig i. Observationerna visar att matematisera är situerat. Även om en aktivitet är väl designad och teoretiskt bör skapa de bästa förutsättningarna för att integrera matematik i lek där matematiken blir användbar och relevant, är det hur barnet uppfattar lekens och matematikens form och innehåll i stunden som tycks spela roll. Vår analys visar att möjligheterna att matematisera dels är relaterat till designen av en aktivitet i vilken utsträckning utformningen ”bäddar in” matematik, dels att förskolläraren spelar en viktig roll i att bjuda in till deltagande och därmed att barnen tillåts utforska och använda matematik i leken.

Studien visar även att det har betydelse att matematiken är relevant för kontexten ifråga, annars tenderar matematiken att bli separerad från leken. Om lekens struktur inte är känd för barnen kan inte heller matematikens form och innehåll bäddas in i leken och därmed inte bli nödvändig för att genomföra och utveckla leken. Även när leken är initierad av förskolläraren behöver barnen, likt Van Oers (2014) beskrivningar, vara fria att utforska lekens möjliga riktningar. Det tycks som att barnens agency och frihet att ta leken i oförutsägbara riktningar påverkas positivt när förskolläraren deltar aktivt i leken. I de observationer där förskolläraren är en aktiv deltagare (till exempel dansar med barnen eller simmar med barnen och krokodilerna och skyndar sig upp på stenarna när krokodilerna kommer) kan vi se att barnen i högre utsträckning tar initiativ och använder matematik självständigt för att delta, initiera nya riktning och utveckla leken. Denna insikt är i linje med Sairanen et al.:s (2020) studie som framhåller betydelsen av den respons förskollärare ger på barns initiativ. Det tycks som om förskollärare framstår som mer jämbördiga lekdeltagare när de deltar i leken än när de styr leken från sidan. När förskolläraren genom aktivt deltagande i leken bjuder in barnen till initiativtagande framträder barns agency i en ömsesidig process.

När förskolläraren deltar i leken värdesätts även lekens form och innehåll lika mycket som matematikens form och innehåll. På samma sätt som förskolläraren utifrån aktiviteternas design utforskar tal med barnen (matematikens form och innehåll) blir även lekens form och innehåll (till exempel hur man gör när man dansar) möjligt att utforska. När läraren inte deltar aktivt i leken kan vi i flera observationer se hur barnens fokus styrs från lekens form och innehåll (till exempel slutar de dansa och står och väntar tills musiken ska tystna) till att enbart fokusera det som ur deras perspektiv värdesätts av förskolläraren, matematikens form och innehåll. För att matematiken ska bli inbäddad i aktiviteten kan leken därför inte ses enbart som ett medel att integrera matematik i verksamheten, vilket inte heller är i linje med den svenska läroplanen i förskolan som särskilt framhåller möjligheten att vidga barns lekmönster genom planerade lekaktiviteter. Utifrån den analys vi presenterat kan vi dock dra slutsatsen att det är möjligt att undervisa matematiserande så att matematik blir en relevant och användbar del av barns lek utan att lekens ursprungliga värden förringas, utan snarare vidgas och fördjupas. På så vis kan matematisera fortsatt användas i förskoledidaktiska diskussioner, men vårt bidrag är en problematisering och nyansering som vilar på vetenskaplig grund och empiriska fynd.